1.1 概述

比例（Proportion）積分（Integral）微分（Differential）控制器（PID控制器或三項控制器）是一種采用反饋的控制回路機制，廣泛應(yīng)用于工業(yè)控制系統(tǒng)和需要連續(xù)調(diào)制控制的各種其他應(yīng)用。

PID控制器連續(xù)計算誤差值 e(t) 作為所需設(shè)定點(SP) 和測量過程變量(PV)之間的差值，并應(yīng)用基于比例、積分和導(dǎo)數(shù)項（分別表示為P、I和D）的校正，因此得名。

r(t) 是期望的過程值或設(shè)定點(SP)，y(t) 是測量的過程值(PV)。

1.2 歷史發(fā)展

1911年，第一個PID控制器是由Elmer Sperry開發(fā)的。

1922 年，俄裔美國工程師尼古拉斯·米諾斯基 ( Nicolas Minorsky)才首次利用理論分析制定了我們現(xiàn)在所說的 PID 或三項控制的正式控制律。米諾斯基當(dāng)時正在為美國海軍研究和設(shè)計自動船舶轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，他的分析基于對舵手的觀察。

他指出，舵手不僅根據(jù)當(dāng)前航向誤差，還根據(jù)過去的誤差以及當(dāng)前的變化率來駕駛船舶；然后 Minorsky 對此進(jìn)行了數(shù)學(xué)處理。他的目標(biāo)是穩(wěn)定，而不是一般控制，這大大簡化了問題。

1933年，TIC(泰勒儀器公司)實現(xiàn)了完全可調(diào)節(jié)的前氣動控制器。幾年后，控制工程師通過將末端返回到一些假值，直到誤差不為零，消除了比例控制器中發(fā)現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)誤差。這個返回包含了誤差，這被稱為比例積分控制器。

1940年，第一個氣動PID控制器通過導(dǎo)數(shù)動作開發(fā)，以減少超調(diào)問題。

1942年，Ziegler & Nichols引入了調(diào)諧規(guī)則，由工程師發(fā)現(xiàn)和設(shè)置PID控制器的合適參數(shù)。

20世紀(jì)50年代中期，自動PID控制器在工業(yè)上得到了廣泛的應(yīng)用。工業(yè)中大多數(shù)現(xiàn)代 PID 控制都是作為DCS、PLC 或單片機程序來實現(xiàn)的。

1.3 應(yīng)用

•火箭的姿態(tài)控制

•無人機懸�？刂频�

•相機穩(wěn)定器、相機云臺

•平衡小車

•汽車的定速巡航控制、轉(zhuǎn)向控制

•發(fā)動機轉(zhuǎn)速控制

•3D打印機上的溫度控制器

•工業(yè)自動化領(lǐng)域，大約95%的閉環(huán)操作使用PID控制器。

1.4 與 ON/OFF 型控制器對比

像PID控制器這樣的閉環(huán)系統(tǒng)包括一個反饋控制系統(tǒng)。該系統(tǒng)利用一個固定點對反饋變量進(jìn)行評估，從而產(chǎn)生誤差信號。在此基礎(chǔ)上，它改變系統(tǒng)輸出。這個過程將繼續(xù)，直到誤差達(dá)到零，否則反饋變量的值就等于一個固定點。

與ON/OFF型控制器相比，該控制器提供了良好的效果。在開/關(guān)型控制器中，只需兩個條件即可管理系統(tǒng)。大多數(shù)暖通空調(diào)系統(tǒng)、冰箱都采用這種方法。

例如，在冰箱中，它會冷卻內(nèi)部直到達(dá)到所需溫度，然后關(guān)閉冷卻器，直到達(dá)到高于所需溫度的設(shè)定值。一旦工藝值低于固定點，則開啟。

類似地，一旦該值高于固定值，它將關(guān)閉。這種控制器的輸出不穩(wěn)定，在不動點的區(qū)域內(nèi)振蕩頻繁。然而，與ON/OFF型控制器相比，PID 控制器更加穩(wěn)定和準(zhǔn)確。

1.6 響應(yīng)類型

Introduction to PID：

https://docs.wpilib.org/en/stable/docs/software/advanced-controls/introduction/introduction-to-pid.html

由PID控制器驅(qū)動的系統(tǒng)通常具有三種類型的響應(yīng)：欠阻尼、過阻尼和臨界阻尼。

•欠阻尼響應(yīng)在穩(wěn)定之前圍繞參考值振蕩。

•過阻尼響應(yīng)上升緩慢并且不會超過參考值。

•臨界阻尼響應(yīng)具有最快的上升時間，且不會超過參考值。

r(t) setpoint, reference，是期望的過程值或設(shè)定值(SP)；

y(t) output, process variable，是測量的過程值，輸出值(PV)；

e(t) error，是偏差；

u(t) control effort，是控制量；

PID控制器的顯著特點是能夠利用比例、積分和微分這三個控制項對控制器輸出的影響來進(jìn)行精確和最優(yōu)的控制。

PID 控制器，不斷計算誤差值e(t) 作為所需設(shè)定點之間的差異SP=r(t) 和測量的過程變量PV=y(t):e(t)=r(t)−y(t) ,并應(yīng)用基于比例、積分和導(dǎo)數(shù)項的修正。

控制器嘗試通過調(diào)整控制變量來最小化隨時間變化的誤差u(t)。manipulated variable (MV)。

http://matlab.fei.tuke.sk/orhs/subory/podklady/pid_controller_slidy.pdf

2.2 PID 數(shù)字公式

由于計算機控制是一種采樣控制，它只能根據(jù)采樣時刻的偏差計算控制量，而不能像模擬控制那樣連續(xù)輸出控制量，進(jìn)行連續(xù)控制。由于這一特點，（式 1-1）中的積分項和微分項不能直接使用，必須進(jìn)行離散化處理。

離散化處理的方法為：以τ作為采樣周期，k作為采樣序號，則離散采樣時間kτ對應(yīng)著連續(xù)時間t，用矩形法數(shù)值積分近似代替積分，用一階后向差分近似代替微分，可作如下近似變換：

2.3 位置式 PID 算法

將（式 2-1）代入（式 1-1），就可以得到離散的 PID 表達(dá)式為

積分系數(shù)、微分系數(shù)做如下替換：

注意：必須使τ為定值，或者變化小到可以忽略，這樣P、I、D才是固定常數(shù)，才可能調(diào)節(jié)

由（式 2－8）可以看出，如果計算機控制系統(tǒng)采用恒定的采樣周期τ，一旦確定 A、 B、 C，只要使用前后三次測量的偏差值，就可以由（式 2－8）求出控制量。

增量式 PID 控制算法與位置式 PID 算法（式 2－3）相比，只需要保持當(dāng)前時刻以前三個時刻的偏差值即可，累計誤差較小，計算量小的多，因此在實際中得到廣泛的應(yīng)用。

而位置式 PID 控制算法也可以通過增量式控制算法推出遞推計算公式：